TRIGONOMETRIA: marzo 2014

martes, 18 de marzo de 2014

QUE ES UN RADIAN

Unidad de medida para ángulos. Un radián se define como la medida de un ángulo central cuyos lados cortan un arco igual en longitud al radio en la circunferencia del círculo. Ya que la longitud de este arco es igual a un radio del círculo, se dice que la medida de este ángulo es un radián.1 radián = (180/

)° = 57.296°
La ventaja de los radianes sobre los grados es solamente que ayudan a simplificar muchas fórmulas trigonométricas.

El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios dividida entre el radio; es decir, θ= s/r, donde θ es ángulo, s es la longitud de arco, y r es el radio. Por tanto, el angulo completo, $\scriptstyle{\theta}_\text{circunferencia}$ , que subtiende una circunferencia de radio r, medido en radianes, es:

$\theta_\text{circunferencia}=\frac {L_\text{circunferencia}}{r} =\frac {2 \pi r}{r}=2 \pi\ \text{rad}\,$

miércoles, 12 de marzo de 2014

Ecuaciones sinematicas del miviento

Ecuaciones

Todos los cálculos relacionados con las magnitudes que describen los movimientos rectilíneos podemos hacerlos con estas dos ecuaciones:

e = e_o + v_o·t + ½·a·t²

v_f = v_o + a·t

e es el desplazamiento del móvil
e_o es la posición inicial
t es el intervalo de tiempo que estamos considerando
v_o es la velocidad inicial (al principio de nuestro intervalo de tiempo)
v_f es la velocidad final (al final de nuestro intervalo de tiempo)
a es la aceleración

Estas ecuaciones se pueden adaptar según las características concretas del movimiento que estemos estudiando:

Si el móvil parte del orígen de coordenadas

Significa que la posición inicial e_o del cuerpo es cero. En este caso la ecuación del desplazamiento podemos escribirla así:

e = v_o·t + ½·a·t²

Si el móvil parte del reposo

Esto quiere decir que la velocidad inicial es cero. Al sustituir este valor en las ecuaciones anteriores, queda:

e = ½·a·t²

v_f = a·t

Si el movimiento es uniforme

Es el movimiento de velocidad constante, es decir el movimiento con aceleración cero.

Al dar valor 0 a la aceleración, las ecuaciones del principio quedan así:

e = v_o·t

v_f = v_o

Ya habrás notado que no se trata de ecuaciones diferentes sino de las mismas ecuaciones adaptadas a dos casos concretos, por tanto no es necesario que aprendas de memoria todas las ecuaciones: con las dos primeras y un análisis de la situación tienes suficiente.

Cómo resolver los ejercicios

Para resolver un ejercicio no basta con aplicar las ecuaciones. Es necesario seguir un método o estrategia que podemos resumir así:

Dibuja un diagrama con la situación propuesta.
Identifica las variables que conocemos y ponlas en una lista de datos.
Identifica las variables desconocidas y ponlas en la lista de incógnitas.
Identifica la ecuación con la que vas a obtener el resultado y comprueba si tienes todos los datos necesarios o debes calcular alguno con la otra ecuación.
Sustituye los valores en las ecuaciones y realiza los pasos y las operaciones que necesites para obtener el resultado.
Comprueba que tu resultado sea correcto matemáticamente y que sea razonable desde el punto de vista físico.

Ejemplo

Imagina que el conductor de una moto que circula 25 m/s pisa el freno hasta detenerse cuando ve que el semáforo se pone en ámbar. Si los frenos producen una aceleración de -5 m/s², ¿cuál será el desplazamiento durante el proceso de frenado?

Comenzamos haciendo un esquema informativo de la situación física, que aparece un poco más abajo.
El segundo paso consiste en identificar los datos que nos proporcionan. Observa que la velocidad final v_f es cero porque nos dicen que la moto se detiene. La velocidad inicial v_o de la moto es +25 m/s porque esa es la velocidad al inicio del movimiento que estamos estudiando (el movimiento de frenado). La aceleración a es -5 m/s². Presta mucha atención a los signos + y - que tienen las magnitudes.
El siguiente paso es saber qué queremos calcular. En nuestro caso, tenemos que determinar el desplazamiento e de la moto mientras frena.
A continuación tienes el resultado de los tres primeros pasos:

Esquema:

Datos:

v_o = +25 m/s

v_f = 0 m/s

a = -5 m/s²

Buscamos:

e = ?

El cuarto paso consiste en decidir con qué ecuación podemos calcular lo que nos piden y comprobar si tenemos todos los datos que necesitamos. En nuestro caso usaremos la ecuación:

e = v_o·t + ½·a·t²

Observa que no podemos calcular e hasta que conozcamos el tiempo t que dura la frenada. Lo podemos calcular con la otra ecuación:

v_f = v_o + a·t

Si sustituimos los valores conocidos de v_f, v_o y a, tenemos:
0 = 25 m/s + (-5) m/s²·t
-25 m/s = -5 m/s²·t
t = -25 m/s / -5 m/s² = 5 s

Una vez calculado el tiempo que dura el movimiento, procedemos a determinar el desplazamiento:

e = 25 m/s · 5s + ½ (-5)m/s²·(5s)²
e = 125 m - 62,5 m = 62,5 m

e = 62,5 m

Hemos llegado a la conclusión de que la moto recorre 62,5 m durante el proceso de frenada.
El último paso consiste en comprobar que la solución que damos es correcta y razonable. La solución, en este caso, representa el desplazamiento que realiza la moto desde que se pisa el freno hasta que se detiene. Parece razonable que si se circula a 90 km/h (25 m/s), la distancia necesaria para detener la moto sea aproximadamente las dos terceras partes de un campo de fútbol, similar a la que nosotros hemos obtenido.
Para comprobar si los cálculos matemáticos son correctos, sustituye los valores de t y de e que hemos calculado en ambas ecuaciones del movimiento y comprueba que la parte izquierda de cada ecuación sea igual que la derecha.

Tipos de movimiento

El fenómeno físico que implique un cambio de posición respecto del tiempo de algún cuerpo se lo conoce bajo el nombre de movimiento.

Tomando en cuenta la trayectoria, que es la forma que adquiere el recorrido del objeto en movimiento, encontramos los siguientes:

Movimiento rectilíneo uniforme: en este tipo de movimiento el cambio de posición de un determinado cuerpo se desplaza en una línea recta. Su uniformidad se da porque en su avance o retroceso se mueve exactamente la misma distancia en cada unidad de tiempo, es decir, a una velocidad constante. Esto significa que su aceleración es nula, lo que lo hace difícil de hallar en la naturaleza. Un ejemplo de movimiento rectilíneo uniforme es la luz.
Movimiento rectilíneo uniforme acelerado: en este, en cambio, la aceleración no es nula sino uniforme. Esto hace que su velocidad no sea constante sino uniforme, aumentando y disminuyendo la misma velocidad en cada unidad de tiempo, por lo que se habla de una aceleración constante.

El desplazamiento de este movimiento, al igual que el anterior, es de manera recta. Un ejemplo de este movimiento es la caída libre vertical.

Movimiento circular uniforme: en este la trayectoria del cuerpo tiene la forma de una circunferencia. Este movimiento se realiza a una velocidad constante, es decir que da el mismo número de vueltas en cada unidad de tiempo. Mientras que, la aceleración es nula. Un ejemplo de este movimiento es el de la Tierra, que da una vuelta alrededor del Sol cada 365 días.
Movimiento circular uniforme acelerado: en este movimiento, cuya trayectoria también es circular, la aceleración es constante, y su velocidad uniforme.
Movimiento pendular: en este movimiento, el cuerpo pende de una soga que oscila, de manera periódica, ya que se repiten constantemente sus variables en cada unidad de tiempo. El ejemplo más claro es el péndulo del reloj.

martes, 11 de marzo de 2014

Onda

Desde un punto de vista matemático, la onda más sencilla o fundamental es la onda sinusoidaldescrita por la función

$f(x,t) = A\sin(\omega t-kx)\,$

donde $A$ es la amplitud de una onda (la elongación máxima o altura de la cresta de la onda). Las unidades de amplitud dependen del tipo de onda — las ondas en una cuerda tienen una amplitud expresada como una distancia (metros), las ondas sonoras como presión (pascales) y ondas electromagnéticas como la amplitud del campo eléctrico (voltios/metros). La amplitud puede ser constante, o puede variar con el tiempo y/o posición. La forma de la variación de amplitud es llamada la envolvente de la onda.

La longitud de onda (simbolizada por $\lambda$ ) es la distancia entre dos crestas o valles seguidos. Se mide en unidades de longitud, tales como el metro(m), sus múltiplo o submúltipos según convenga. Así, en la óptica, la longitud de onda de la luz se mide en nanómetros.

Un número de onda angular $k$ puede ser asociado con la longitud de onda por la relación:

$k = \frac{2 \pi}{\lambda} \,$

$f=\frac{1}{T} \,$ El periodo $T$ es el tiempo requerido para que el movimiento de oscilación de la onda describa un ciclo completo. La frecuencia $f$ es el número de ciclos completos transcurridos en la unidad de tiempo (por ejemplo, un segundo). Es medida en hercios. Matemáticamente se define sin ambigüedad como:

En otras palabras, la frecuencia y el periodo de una onda son recíprocas entre sí.

La frecuencia angular $\omega$ representa la frecuencia en radianes por segundo. Está relacionada con la frecuencia por

$\omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T} \,$

Hay dos velocidades diferentes asociadas a las ondas. La primera es la velocidad de fase, la cual indica la tasa con la que la onda se propaga, y está dada por:

$v_p = \frac{\omega}{k} = {\lambda}f$

La segunda es la velocidad de grupo, la cual da la velocidad con la que las variaciones en la forma de la amplitud de la onda se propagan por el espacio. Esta es la tasa a la cual la información puede ser transmitida por la onda. Está dada por:

$v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} \,$

Onda estacionaria (en negro) originada por la interferencia entre dos ondas progresivas en direcciones opuestas: en azul la que avanza hacia la derecha y en rojo la que se propaga hacia la izquierda. Los puntos rojos representan los nodos de la onda estaciona

Pendon

Es un sistema físico que puede oscilar bajo la acción gravitatoria u otra característica física (elasticidad, por ejemplo) y que está configurado por una masa suspendida de un punto o de un eje horizontal fijos mediante un hilo, una varilla, u otro dispositivo que sirve para medir el tiempo.

Existen muy variados tipos de péndulos que, atendiendo a su configuración y usos, reciben los nombres apropiados: péndulo simple, péndulo compuesto, péndulo cicloidal, doble péndulo, péndulo de Foucault, péndulo de Newton, péndulo balístico, péndulo de torsión, péndulo esférico, etcétera.

Ecuación del movimiento

Para escribir la ecuación del movimiento, observaremos la figura adjunta, correspondiente a una posición genérica del péndulo. La flecha azul representa el peso de la masa pendular. Las flechas en color violeta representan las componentes del peso en las direcciones tangencial y normal a la trayectoria.

Aplicando la Segunda ley de Newton en la dirección del movimiento, tenemos

$F_\text{t} = - mg\sin\theta = ma_\text{t} \,$

donde el signo negativo tiene en cuenta que la $F_\text{t}$ tiene dirección opuesta a la del desplazamiento angular positivo (hacia la derecha, en la figura). Considerando la relación existente entre la aceleración tangencial y la aceleración angular

$a_\text{t} = \ell \ddot\theta\ \,$

obtenemos finalmente la ecuación diferencial del movimiento plano del péndulo simple.

El movimiento de un péndulo esférico en general no resulta periódico, ya que es la combinación de dos movimientos periódicos de períodos generalmente incomensurables. Sin embargo el movimiento resulta cuasiperiódico, lo cual significa que fijado una posición y una velocidad previas del movimiento existe un tiempo T tal que el movimiento pasará a una distancia tan pequeña como se desee de esa posición con una velocidad tan parecida como se quiera, pero sin repetirse exactamente. Dada que la región de movimiento además resulta compacta, el conjunto de puntos la trayectoria de un péndulo esférico constituye un conjunto denso sobre una área esférica comprendida entre dos casquetes esféricos.

$\ell \ddot\theta\ + g\sin\theta = 0\,$

Péndulo simple en movimiento armónico con oscilaciones pequeñas.

Péndulo en la Catedral Metropolitana, Ciudad de México.

Péndulo de Foucault en el hemisferio sur.

Pistón

Se denomina pistón a uno de los elementos básicos del motor de combustión interna.
Su función principal es la de constituir la pared móvil de la cámara de combustión, transmitiendo la energía de los gases de la combustión a la biela mediante un movimiento alternativo dentro del cilindro. Dicho movimiento se copia en el pie de biela, pero se transforma a lo largo de la biela hasta llegar a su cabeza apretada al muñón del cigüeñal, en donde dicha energía se ve utilizada al movilizar dicho cigüeñal. De esta forma el pistón hace de guía al pie de biela en su movimiento alternativo.

El pistón es una pieza metálica tronco cónica compuesta por tres partes que son: la cabeza, el cuerpo y la pollera o falda. La parte superior o cabeza es la parte más reforzada del mismo ya que se encarga de recibir el empuje de la expansión de los gases dentro del cilindro durante el desarrollo del ciclo.Los pasadores de pistón están hechos de aluminio. Se trata de un émbolo que se ajusta al interior de las paredes del cilindro mediante aros flexibles llamados segmentos o anillos. Efectúa un movimiento alternativo, obligando al fluido que ocupa el cilindro a modificar su presión y volumen o transformando en movimiento el cambio de presión y volumen del fluido. Entre las características que debe reunir se cuentan:

Capacidad de soportar las condiciones extremas a las que se ven expuestos.

Debe ser ligero para no transmitir excesivas inercias que aumenten las vibraciones del motor.
Capacidad de dotar de perfecta estanqueidad al cilindro para así evitar una eventual fuga de gases.

A través de la articulación de biela y cigüeñal, su movimiento alternativo se transforma en rotativo en este último.

uede formar parte de bombas, compresores y motores. Se construye normalmente en aleación de aluminio.

Los pistones de motores de combustión interna tienen que soportar grandes temperaturas y presiones, además de velocidades y aceleraciones muy altas. Debido a estos se escogen aleaciones que tengan un peso específico bajo para disminuir la energía cinética que se genera en los desplazamientos. También tienen que soportar los esfuerzos producidos por las velocidades y dilataciones.

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